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By A.K. Boiarchuk, G.P. Golovach ; traducido del ruso bajo la dirección de Viktoria O. Malishenko y Guillermo Peña Feria ; revisión científica de Jairo Correa Rodríguez.

ISBN-10: 5836004579

ISBN-13: 9785836004576

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Ucuacio^lijed, Separando las variables e integrando, obtenemos / ^ln « + 1) < £ - ! ) « +7) d í + In(|w|C) = 0/ l|+^ln|£ + 7| + ln|t;C| = 0, de donde (í - 1)(£ + 7 ) V = C, o bien (;X - y)(x + 7y — 4f = C. • M Solución. Puesto que las rectas 2x+y+l = 0 y 4x+2y-3 — 0 son paralelas (aií^ — a2&i = 0)/ no podemos recurrir al cambio de variable empleado en los ejemplos anteriores. Sin embargo, como los coeficientes de las variables x ey son proporcionales, entonces podemos tomar z = 2 x + y , obteniendo de este modo dy = dz - 2 dx y 5(z - 1) dx - (2x -3)dz = 0.

I Solución» Sea Q(t) la cantidad de nitrógeno en el recipiente en un instante t desde que comenzó el proceso de mezcla. Entonces, 0,1 dt litros de mezcla contienen (0,1 * Q dt)/20 litros de nitrógeno. De acuerdo con las condiciones de partida, durante un intervalo de tiempo dt en el recipiente penetran 0,1 dt litros de nitrógeno y salen (0,1 • Q dt)/20 litros, Por consiguiente, la cantidad dQ de nitrógeno que queda en el recipiente al cabo del tiempo dt es igual a 0,1(1 — Q/20) dt litros. De esta forma, obtenemos la ecuación diferencial dt, dQ = 0,1 o bien dQ 20 - Q dt 200 Integrando, hallamos Q = 20 - Ce~°'005t.

Es evidente que Qi = (V - rrto • 1 0 - 6 ) qo es la cantidad de gramos de vapor que había en la habitación y Qi = (V - m 0 • 10 - 6 ) q0 + Q es la cantidad de gramos de vapor contenida en la habitación en el instante í. Es obvio que la cantidad Ch está uniformemente distribuida en el volumen V2 = V - m0 • 10" 6 + Q • 1(T6 (la presencia del factor 10"° se debe a que un gramo de agua ocupa aproximadamente un volumen igual a un centímetro cúbico). Por tanto, Qi v> q (V - m0lCr6) q0 + Q V - 10^6(mo + Q)  Si V 10 6(m0 + Q), entonces de (2) se obtiene una fórmula tnás simple para q: _ Vqo + Q _ Q— y , Q ^ + y (3) * Sustituyendo (3) en (1), obtenemos la ecuación diferencial dQ dt k flo cuya solución es Q(t) = V(qi-q(>) + Ce-kt/v.

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8. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden by A.K. Boiarchuk, G.P. Golovach ; traducido del ruso bajo la dirección de Viktoria O. Malishenko y Guillermo Peña Feria ; revisión científica de Jairo Correa Rodríguez.


by Joseph
4.1

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